재미있는 확률 퍼즐1. 어떤 범죄 현장에 두 개의 혈흔이 발견되었다. 하나는 O형, 다른 하나는 AB형이었다. 이 지역에서 O형은 60%, AB형은 1%이다. 용의자 올리버(Oliver)는 O형이다. 범죄현장에서 발견된 혈흔은 올리버에게 유리한 증거인가, 불리한 증거인가?
많은 분들이 말씀하셨듯이 올리버에게 유리한 증거가 맞다. 좀 괴악하지만 이 증거는 범인 중 적어도 한 명이 O형일 확률은 증가시키는데(84% -> 100%), 올리버가 범인일 확률은 감소시킨다. 왜냐하면 올리버가 범인일 때보다 범인이 아닐 때 이런 혈흔이 나타날 확률이 높기 때문이다.
문제에 약간 모호한 부분이 있는데 범인은 2명이고 혈흔은 모든 범인의 것이라고 해보자. 그러면 하나는 O형, 하나는 AB형일 확률은 1.2%(=2*60%*1%)이다. 다시 말해 올리버가 범인이 아닐 경우 이런 혈흔이 나타날 확률이 1.2%다. 그런데 올리버가 범인이라면 혈흔은 하나만 남는데 AB형이 1%기 때문에 이런 혈흔이 나타날 확률은 1%이다. 그래서 이 증거는 올리버가 범인일 확률을 감소시킨다.
따라서 올리버에게 유리한 증거.
기타의견으로 klutzy님의 "혈액형 성격검사®에 의하면 O형이 범인일 가능성은 희박하므로 검식결과가 잘못되었군요. 재검을 요청합니다."라는 주장도 있었다.
2. 자루 속에 공이 하나 들어 있다. 이 공은 흰색일 수도 있고 검은 색일 수도 있다. 확률은 반반. 이 자루에 흰 공을 하나 집어넣고 흔든 다음 공을 하나 꺼냈더니 흰 공이 나왔다. 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률은?
이 문제는 라임에이드님이 맞다. 여전히 반반이다. 원래 흰공이 있을 확률과 검은 공이 있을 확률은 반반인데 자루에 든 공이 흰색이면 남은 공도 무조건 흰색이고, 원래 자루에 든 공이 검은 색이면 남은 공은 무조건 검은 색이므로 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률은 1/2가 된다. 2/3는 "원래 자루에 든 공이 흰색일 확률"이다. 문제에서 묻는건 "이제 자루에 든 공이 흰색일 확률"이다. 다시 말해 원래 자루에 든 공이 흰색인 사건을 W1, 이제 자루에 든 공이 흰색인 사건을 W2, 흰 공 넣고 흰 공 나온 사건을 Wout이라고 하면 대부분 구하신 건 P(W1|Wout)이고 문제에서 물어보는 건 P(W2|Wout). 식으로 쓰면P(W2|Wout) = P(W2|Wout, W1)P(W1) + P(W2|Wout, ~W1)P(~W1)= 1*0.5 + 0*0.5= 0.5어떤 분들은 원래 자루에 든 공이 흰색일 확률이 1/2에서 2/3으로 바뀌었으니 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률도 달라져야 하는 거 아니냐고 말씀하실 수도 있는데 그건 P(W1)이랑 P(W1|Wout)을 헷갈리신 겁니다. 식에 있는 건 P(W1)이지 P(W1|Wout)이 아니죠.2/3이 맞습니다.
데꿀멍 참조
p.s. 원래는 1번의 괴악함을 얘기하려고 했는데(2번은 그냥 보너스) 2번이 더 논란이군욥. ^^;
