Null Model

문근영 기하학
점 아홉개를 한 획으로 연결하기 (alankang님)
점 아홉개를 하나의 직선으로 연결하기 (낙타님)
점 아홉 개를 직선 하나로 연결하기
바람의 화원 (puzzlist님)
인증샷
9개의 점과 종이접기 (puzzlist님)
나도 문근영 기하학 (starrynight님)

바람의 화원에서 puzzlist님이 알려주신 풀이법에 대한 설명은 다음과 같다.


여기에 대해 나의 답과 puzzlist님의 답은 전혀 다르다. 그냥 답만 다른 게 아니고 풀이 과정에도 재밌는 차이가 있다.

내가 푼 방법은 가운데 세 점이 이루는 일직선 위에 왼쪽과 오른쪽의 점들을 배열하는 것이다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 나는 가운데 점->위쪽 점->아래쪽 점 순서로 하나씩 가운데로 몰아넣었다.

이런 식의 문제풀이법을 차이감소법(difference reduction method)이라고 한다. 현재상태(세 개의 점이 일직선으로 배열)와 목표상태(아홉 개의 점을 일직선으로 배열) 사이의 차이를 순차적으로 감소시켜 나가는 방법이다. 이 방법은 이쪽 구덩이에서 흙을 파내 저쪽 무더기에 쌓는 것처럼 단순하다. 똑같은 일을 계속 해나가다보면 언젠가 문제는 풀리게 되어 있다.

그런데 만약 A4 용지가 아니라 아래 그림처럼 길죽한 종이라면 문제는 매우 간단하게 된다. 왼쪽 점들과 가운데 점들 사이를 두 번 꺾으면 왼쪽 점과 가운데 점들이 일직선 상에 놓이고, 오른쪽에 대해서도 마찬가지로 해주면 되기 때문이다.

puzzlist님이 푼 방법은 위쪽의 점들과 가운데 점들 사이를 여러번 접고 마찬가지로 아래쪽 점들과 가운데 점들 사이를 또 여러번 접어서 A4 용지를 위의 형태로 길죽한 모양으로 바꾼 다음에 위에서 설명한 방법대로 접은 것이다.

이 풀이 과정에는 '아홉 개의 점을 일직선 상에 배열한다'는 목표를 위해 '종이를 길죽하게 만든다'라는 수단을 거친다. 그리고 이 수단을 얻기 위해 '종이를 길죽하게 만든다'를 새로운 목표로 설정하고 문제를 먼저 푼다. 이런 접근을 수단-목표 분석(means-ends analysis)이라고 한다. 수단-목표 분석도 결국엔 차이감소법의 일종이지만 잠깐 돌아가는 것도 감수한다는 점이 포인트다.

푸는 과정이나 결과물이나 수단-목표 분석이 차이감소법보다 훨씬 더 우아하고 단순하지만 생각해내기는 좀 더 어렵다. 왜냐하면 수단-목표 분석은 문제 자체의 목적 외에 새로운 하위 목표들을 여럿 만들어내야하고 이 목표들을 기억에 담아둬야 하기 때문이다. 차이감소법은 문제의 목적과 현재 상태의 차이만 줄이면 되기 때문에 생각이나 기억할 게 별로 없다. 그렇기 때문에 차이감소법이 수단-목표 분석보다 훨씬 선호된다.

차이감소법은 똑같은 과정을 많이 반복하기만 하면 문제가 해결된다. 요컨데 열심히만 하면 된다. 범죄가 만연하다면? 단속을 강화한다. 일이 많다면? 야근을 한다. 성적이 떨어진다면? 학원을 더 다닌다. 등등. 이것이 바로 세상이 삽질과 닭질로 가득차 있는 이유다.