2008년 12월 15일
재미있는 확률 퍼즐
1. 어떤 범죄 현장에 두 개의 혈흔이 발견되었다. 하나는 O형, 다른 하나는 AB형이었다. 이 지역에서 O형은 60%, AB형은 1%이다. 용의자 올리버(Oliver)는 O형이다. 범죄현장에서 발견된 혈흔은 올리버에게 유리한 증거인가, 불리한 증거인가?
2. 자루 속에 공이 하나 들어 있다. 이 공은 흰색일 수도 있고 검은 색일 수도 있다. 확률은 반반. 이 자루에 흰 공을 하나 집어넣고 흔든 다음 공을 하나 꺼냈더니 흰 공이 나왔다. 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률은?
10분 이상 댓글을 달아주시면 정답을 공개하겠습니다. 찍으면 무효.
2. 자루 속에 공이 하나 들어 있다. 이 공은 흰색일 수도 있고 검은 색일 수도 있다. 확률은 반반. 이 자루에 흰 공을 하나 집어넣고 흔든 다음 공을 하나 꺼냈더니 흰 공이 나왔다. 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률은?
10분 이상 댓글을 달아주시면 정답을 공개하겠습니다. 찍으면 무효.
# by | 2008/12/15 01:33 | 트랙백 | 핑백(1) | 덧글(24)
☞ 내 이글루에 이 글과 관련된 글 쓰기 (트랙백 보내기) [도움말]
... 재미있는 확률 퍼즐 1. 어떤 범죄 현장에 두 개의 혈흔이 발견되었다. 하나는 O형, 다른 하나는 AB형이었다. 이 지역에서 O형은 60%, AB형은 1%이다. 용의자 올리버(Olive ... more
2.
케이스 1 : 원래 흰색이었는데 원래 공이 나왔을 경우
케이스 2 : 원래 흰색이었는데 새로 넣은 공이 나왔을 경우
케이스 3 : 원래 검은색이었는데 원래 공이 나왔을 경우
케이스 4 : 원래 검은색이었는데 새로 넣은 공이 나왔을 경우.
일단 여기에서 케이스 3 은 배제하면, 자루에 남은 공이 흰색을 경우는 1,2 뿐이므로 2/3.
2.
[2008-12-15 02:31:51] <시노> 2. 자루 속에 공이 하나 들어 있다. 이 공은 흰색일 수도 있고 검은 색일 수도 있다. 확률은 반반. 이 자루에 흰 공을 하나 집어넣고 흔든 다음 공을 하나 꺼냈더니 흰 공이 나왔다. 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률은?
[2008-12-15 02:32:26] <Mxxxxx> !!퍼센트 흰색일 확률
[2008-12-15 02:32:27] <봇-폭주교지킴이> 흰색일 확률은 38.23% 입니다.
[2008-12-15 02:32:30] <Mxxxxx> 38.23%
....-_-
2번은, {(흰,흰),(흰,검)}의 두 주머니를 상자 안에 넣고 볼을 꺼내면서 주머니도 같이 꺼내서 다음 볼을 확인한다고 생각하면, 2/3이 될 것 같군요. 조건부 확률이네요. 틀렸나? ㅋㅋㅋㅋ
피해자가 AB형일 경우에만 불리한 증거이나, 피해자의 혈액형을 모르는 상황에서 피해자가 1% 안에 든다고 가정하는 것보다는 60% 안에 든다고 가정하는 것이 옳으므로 피해자를 O형이라고 가정한다면 유리한 증거.
만약 둘 다 가해자들의 혈흔이라고 가정한다면,
인구 1%에 해당하는 AB형 중에서 범인을 찾아나서고 60%나 되는 O형은 무시할 것이므로 유리한 증거.
그런데 무작위 비복원추출을 했을 때 O형이 한번 이상 나올 확률이 84%나 되는군요...
2.원래 흰색이었으면(50%) 둘 다 흰색이므로 안에 든 것은 흰색.
원래 검은색이었으면(50%) 안에 든 것은 검은색.
확률은 반반.
글고 1번 문제와 2번 문제는 비슷한 문젠거 같은데 왜 2->1로 번역이 안될까요 -_-
(1)혈흔 때문에 범인의 혈액형이 O형일 확률 50%, AB형일 확률 50%로 추정할 수 있다.
(2)범인은 지역의 사람이다.
라는 가정을 세워보죠. 혈흔이 발견되지 않았다면 범인의 혈액형이 O형일 확률이 60%였을 테니까 확률이 줄어든 거고 그렇다면 이것은 O형 용의자에게 유리한 증거가 됩니다.
2. 흰공 흰공 확률 / { (흰공 검은공에서 흰공 확률)+ (흰공 두개에서 흰공 확률) } = (1/2 ) / { (1/2 * 1/2) + (1/2) } = 2/3
"주머니 속에 양면이 모두 흰 카드와, 한 면이 희고 한 면은 까만 카드가 한 장씩 있다. 한 장을 뽑아 앞면을 보니 흰 색이었다. 나머지 한 장을 뽑아 앞면을 보았을 때 흰 색일 확률은?"
제가 쓴 문제에서는 한 장을 뽑아 앞면이 흰 색일 경우의 수는 셋(양면이 모두 흰 카드의 A면, 양면이 모두 흰 카드의 B면, 한 면만 흰 카드의 흰 면)이고 나머지 한 장의 카드는 각각의 경우에 (한 면은 희고 한 면은 까만 카드, 한 면은 희고 한 면은 까만 카드,양면이 모두 흰 카드)이며 각각의 면을 분리해서 보면 (흰 면, 까만 면, 흰 면, 까만 면, 흰 면, 흰 면)이고 따라서 나머지 한 장의 카드를 뽑아 앞면을 보았을 때 흰 색일 확률은 4/6 = 2/3.
2. Monty Hall 이니까 2/3이라고 그냥....
저는 ANOVA만 하는 사람이라 non-parametric에 약하다고 미리 방어막을 칩니다...
극단적으로, 만약 이 마을 사람이 100명이라면, AB형은 단 한 명. 용의자 중 AB형이 있었다면 무조건 그 사람이 범인이 된다. 조건부 확률을 사용해서 풀어본다면,
P(범인) = X
P(O형|범인) = P(AB형|범인) = Y (범죄자 중 특정 혈액형이 더 많지 않다고 가정)
P(범인|O형) = P(범인) x P(O형|범인) / P(O형)= X x Y / .6
P(범인|AB형) = P(범인) x P(AB형|범인) / P(AB형)= X x Y / .01
AB형이 범인일 확률이 O형이 범인일 확률보다 60배나 높으므로 올리버에게 유리한 증거.
2. 흰들: 흰 공이 들어있는 경우, 흰꺼: 흰 공을 꺼낸 경우
P(흰들|흰꺼) = P(흰꺼|흰들) x P(흰들) / P(흰꺼)
P(흰꺼) = P(흰꺼|흰들) x (흰들) + P(흰꺼|검들) x P(검들) = 1x.5 + .5x.5 = .75
P(흰들|흰꺼) = P(흰꺼|흰들) x P(흰들) / P(흰꺼) = 1x.5/.75 = 2/3
2. 위에 분들이 너무 논리정연하게 답을 말씀해주셔서 그냥 이런 답도 있어야되지 않을까 하는 측면에서 1/2 이라고 외칩니다. ;-)
2. 조건부확률로 간단히 계산하면 2/3
.. 2번은 흰공을 넣고 흰공이 나왔다는 게 중요합니다. 흰공 100개를 넣고 100개를 꺼냈더니 흰공만 나왔다면 나머지 하나도 흰공일 확률이 높겠죠.
자루 속에 공이 하나 들어 있다. 이 공은 흰색일 수도 있고 검은 색일 수도 있다. 흰 공일 확률은 1%. 이 자루에 흰 공을 1억 개 집어넣고 흔든 다음 공을 1억 개 꺼냈더니 죄다 흰 공이 나왔다. 이제 자루에 든 공이 흰색일 확률은?
...저는 흰 공일 확률이 1%일 것 같습니다만.
변형시킨 문제의 경우 다음을 구해서 계산하시면 됩니다.
{0.01 * (흰공인데 흰공 1억개 나올 확률) }
/ { 0.99 * (검은공인데 흰공 1억개 나올 확률)+ 0.01 * (흰공인데 흰공 1억개 나올 확률) }
2. 흰이거나 검이거나 확률은 1/2. 흰흰일 경우 무조건 흰이니까 확률은 1. 흰검일 경우 흰이 나오면 무조건 검이니까 확률은 0. 각각 독립사건이니까 곱해서 더하면 확률은 1/2
틀리면 메롱=,.=) =3=3=3
찍기밖에 안 되서 저는 포기합니다. ㅋ