Null Model

한윤형님의 표현대로 '프로브 사냥' 좀 해야겠다. 프로브라도 미네랄은 안 캐고 엉뚱하게 중립동물에 가서 붙어 있는 프로브라 잡아도 별 도움은 안되겠다.

라캉 어쩌고 떠들면서 댓글다는 사람들이 몇몇 있는데 기본 개념이 심각할 정도로 결여되어 있다. 자꾸 나오는 괴델의 정리에서 말하는 '완전'은 논리학 용어로서 영어로 complete다. 이건 일상적 의미에서 '완전(perfect)'하고 아무 상관도 없다. 이걸 이해를 못하니가 한국어로 '완전'이라는 말만 보고 계속 헛소리를 하게 되는 것이다.

더 심각한 문제는 괴델이 뭘 증명했는지조차 모른다는 것이다. 게다가 괴델이 증명한 것은 0을 포함하는 자연수와 덧셈, 곱셈이 정의된 공리계가 불완전(incomplete)하고 거기에 뭘 덧붙여도 불완전하다는 것이다. 그럼 당연히 뭘 빼면 어떻게 될지 궁금하지 않은가? 프레스버거의 정리에 따르면 덧셈이나 곱셈 둘 중에 하나만 빠지면 완전(complete)하다. 예를 들면 trivial group은 0과 덧셈만으로 이뤄진 공리계인데 당연히 완전하다. 하늘빛마야님의 블로그에 단 한 댓글에서 내가 trivial group의 예를 보여주자 라캉 타령하던 어떤 분은 지금 괴델이 틀렸다는 거냐고 하던데 이게 얼마나 코미디인지. 괴델 타령을 하면서 괴델이 뭐라고 했는지도 모르는!

요즘에 등장한 어떤 분은 또 괴델 타령하다가 비유클리드 기하학 타령하다가 오락가락 하신다. 그런데 이 둘은 아무 상관도 없는 것이다. 시기적으로 봐도 대표적인 비유클리드 기하학인 리만 기하학은 1856년에 발표된 것으로 러셀의 역설(1901년), 괴델의 불완전성 정리(1931년)보다 한 세기 전의 사건이다. 도대체 무슨 상관이라는 건지? 결정적으로 유클리드 기하학은 논리학적으로 완전(complete)한 공리계다. 완전 뒤죽박죽이다.

건전성(soundness)과 타당성(validness)의 구분은 논리학 첫 시간에 다루는 내용이다. 괴델의 정리는 '일부' 체계('모든' 체계가 아니라)에서 타당한지 판단할 수 없는 명제가 있다는 것이다. 그래서, 뭐 어쩌라고? 우리는 지금 증명가능한 문제들조차도 다 증명 못하고 있다. 그런데 증명불가능한 문제들이 있다는 게 뭐가 대수라는 건지? 괴델의 정리는 현대 수학의 중요한 발견 중에 하나지만 실제로 달라지는 건 별로 없다.

과학과 라캉의 이론 사이의 문제는 이런 증명가능성과 아무 상관이 없다. 라캉의 이론이 증명불가능한 명제라도 된다는 것도 아니다. 여기서 괴델이 나와야할 이유가 전혀 없다. 앞에서 언급한 분은 어느 체계나 불완전하긴 마찬가지니 우열도 없다는 데 이건 세 가지 면에서 틀렸다. 첫째, 앞에서 봤듯이 완전한 체계도 있고 불완전한 체계도 있다. 둘째, 논리학적 완전성은 현실적인 완전성과 아무 상관도 없기 때문에 어떤 체계가 완전하다고 해서 우월한 것도 아니다. 이 양반의 말대로 하면 0과 덧셈만 있는 trivial group은 라캉보다 우월하다는 말이 된다. 셋째, 아주 극단적인 기준을 들이대서 두 가지가 같다고 말하는 건 별 소용이 없는 짓이다. 물도 10리터 쯤 한 번에 마시면 죽는다. 그러면 물이나 한 모금만 마셔도 죽는 제초제나 같다고 할 것인가? 저 양반은 물 대신 꼭 제초제를 마시기를 권한다. 어차피 많이 먹으면 죽는 건 똑같다.